特殊相対性理論に関して人々が不可思議に感じるのが「双子のパラドックス」なら、量子論で同じ役割を果たしているのが「トンネル効果」と言えるかもしれない。とはいえ、実はトンネル効果に相当するものは、量子論に特有と言うよりは波動現象に特有の効果であり、それ故に、電磁波としての光でも生じるようなものだったりするのではあるのだけれど。
１次元井戸型に戻って、井戸の深さが有限の場合を眺めておこう。なぜ考えるではなく、眺めておくという台詞になるかというと、有限な場合の波動関数は解析的には求められないからである。でも、だいたいどんな具合になるのかは、容易に想像ができる。
井戸の中については、Vが０なので、波動関数の解は三角関数になる。ただし、井戸の境界でΨは０になる必要はないし、実際に０にならない。一方、井戸の外ではV＞Eの場合は（そうじゃないと、井戸の中に粒子を閉じ込めたことにならない）、前の授業でやったように、減少する指数関数になる。あとは、井戸の壁のところで、関数の価と微分が同じになるように、井戸の中の三角関数と井戸の外の指数関数の係数を調整してやればよい。つまり、関数としては
という具合になる。井戸の深さが無限大の場合と同じように、一番エネルギーの低い状態では、波動関数に節はなく、エネルギーが高くなるにつれて節の数が増えていく。エネルギーは離散的である。
井戸の幅が同じ場合には、ポテンシャルが有限になった場合の方がエネルギーが低くなるであろうことに注意せよ。これは、しみ出しの分だけ、実質的に波動関数の波長が長くなる故である。
井戸の深さが無限大と大きく異なるのは、井戸の外側にも波動関数がしみだしていることである。この領域で何が起こっているのかを考えようとすると、頭がクラクラする事態に陥ることになる。
とりあえず、この波動関数をエネルギー演算子であるシュレディンガー方程式に放り込むと、
で、確かに帳尻は合っているように見える。でも、不思議なことに全エネルギーはポテンシャルから運動エネルギーを差し引いたものになっている。つまり、運動エネルギーの値がマイナスになっている…。運動エネルギーは古典的には
であり、正の値しかとりようがない。それが、マイナスになることを、どうやって感覚的に理解すべきかは… 私にも分かっていない…………。 この件については、昔、物理の理論やさんを捕まえて伺ったことがあるのだけれども、結局、時間を虚数で考えるのかなぁという話になって終わってしまった。本なんかでも、きちっと解説しているのを見たことがなく…、困ったままである。このあたりにも、量子力学を理解することの困難さがにじみ出ている。まあ、端的に言ってしまえば、局在した粒子描像をもって、ある場所でのイメージを描こうとしたことが混乱のもとになっているわけで、ある波動の一部だけをとって議論をするのが間違っているということなのであろう。
波という見方からすれば、井戸の壁で急激に波動関数を０にするのには大きな曲率が必要で大きな運動エネルギーが必要になる。系の全エネルギーを低くするのには曲率を減らしても、外にしみ出す方がよいのだろうという言い方になる。
古典的には、V＞Eなら井戸の外にまったく粒子がいけないはずである。しかし、量子力学的な回答は、井戸の外側にも有限の確率をもたらす。これは、古典的禁止領域へのしみだしと言われる現象で、トンネル効果につながるものである。
ここまでは、井戸の外のポテンシャルが無限に続いているとしていたけれども、そのポテンシャル障壁が有限の範囲で終わっており、そこで、波動関数の値が有限であるならば、そこから先は、波動関数は再び三角関数として伝播する形態となる。これが、トンネル効果というものである。何故トンネル効果というかというと、ポテンシャルを山に見立て、この山に向かって粒子を飛ばした時に、古典的には粒子の運動エネルギーが山の高さを超えない限りは粒子は山を越えられない。しかし、量子論の世界では山のポテンシャルより低い場合でも粒子が通り抜けることがあり、それは、あたかも山の中腹にトンネルがあって、そこをすり抜けて粒子が出てくる（これならポテンシャルが足りなくてもよい）ように思えるからである。もちろん、このトンネルは仮想的なものであり、実際のポテンシャルにこのような穴が空いていることはない。
ある厚さの障壁を通り抜ける確率を計算するのには、それぞれの境界面での波動関数の連続性となめらかさを保つように、それぞれの領域の波動関数を調整してやればよい。教科書には代数計算の結果の式があり、それを用いて描かれたグラフもあるが、Ｗｅｂ上では
http://phys.educ.ksu.edu/vqm/html/qtunneling.html
にすてきなデモがある。デモに関しては（当日やるかもしれないけれど、それまでは）各自やってもらうとして、ここでは教科書の図を眺めてみることにしよう。教科書の図は横軸にエネルギーとポテンシャルの比率を、縦軸に透過確率を示している。図中の２とか１０という数字は粒子の質量に関連したものである。２つの図で縦軸の最大値が異なっていること、横軸の間隔が異なっていることに注意しよう。
この図を仔細に眺める映えに、この図と対応する古典的な状況を考えておこう。古典的に、もっとも簡単なポテンシャルのイメージは位置エネルギーであり、くぼみの中を球がいったり来たりする状況を考えることができる。
くぼみの外側は、再び低くなっていることにしよう。この時、球がくぼみから抜け出せるかは、球の持っている全エネルギーが、くぼみの深さより大きいかどうかに依存する。すなわちE/Vの値が１未満なら球はくぼみから永久に抜け出せずＴ＝０である。そしてE/V>１なら、球は確実にくぼみから抜け出す。つまりＴ＝１である。
では、量子論的な扱いではどうだろうか。この場合は、話が古典的な場合と次のように大きく異なる。
上記３つのうち、１がいわゆるトンネル効果と呼ばれているものである。この効果の理解はこれまでの話を追ってきたなら簡単なはずである。即ち、物質の波動性故に、ポテンシャル的に存在できない領域にも物質波がしみだしており、そして、障壁がうすければ、反対側の障壁で有限の存在確率密度が残っており、そこから外へ波動関数がしみだしていくというだけのことなのである。
波動関数の拡がりは、教科書にも記してあるように、質量の平方根に対して指数関数的に減少する。また、ポテンシャル障壁が高くなったり広くなったりすると透過率は急激に低くなる。このため、通常の状況ではトンネル現象が起こることは心配しなくても良い。（つまり、２階から床をトンネル現象ですり抜けて１階に落ちることは現実的な意味でありえないのである）
これに対して、２と３に相当することはこれまでの説明のみで理解することは困難である。なにしろ、２は粒子はポテンシャルを超えるのに充分なエネルギーを持っているのに跳ね返されてくることがあることを示しているし、３に至っては、その跳ね返り方が単純でないと言っているのだから。
ここの説明は悩みそうだ……振動は干渉効果なのだけれど……
トンネル効果は、単純にいえば、粒子が波動性を兼ね備えているが故に存在する現象である。ということは、もともと波である物はトンネル効果を示すということである。つまり、波の代表として光もトンネル効果を示すはずなのである。
この教室は…ガラス窓がないけれども、皆さんはガラスで光が反射するのを知っていると思う。ガラスと空気の屈折率が異なっているので、反射が生じるのだけれども、屈折率は、ポテンシャルとして扱うことができ、その議論の範疇ではポテンシャルの変化により反射が生じている。空気中も、ガラス中も（微弱な吸収をのぞいて）光が伝播するということは、これらの物質の光に対するポテンシャルは、その運動エネルギーよりは小さいことを示している。つまり、障壁としての高さが不充分であるのだけれども、反射が起こっているわけである。
光の垂直反射で全反射を起こすのは困難であるけれども、斜め入射では全反射が生じる。ここにプリズムを用意した。プリズムの面はガラスのままで、特に金属でコーティングはされていない。このプリズムの短辺から入射した光は４５度の面で完全に反射されてしまう。これが全反射と呼ばれる現象である。
光の全反射は
という条件において発生する（屈折率が１．５のガラスではおおよそ４０度が全反射角度だ）。しかし、光は波動性を持つが故に、全反射を起こしても、プリズムの表面から、ある距離に渡って浸みだしている（減衰波と呼ばれる物だ）。この減衰はが存在する領域に、再びガラスを持ってくると減衰波はそこからは進行波となって伝播していく。これは、光のトンネル効果とよべる現象で、走査近接場顕微鏡の原理である。
※トンネル効果の周辺に誘電体多層ミラーなどがあるのだけれど、そこまで議論をする余裕は多分なさそうだけれどメモだけは入れておく。
※帰ってきた「無効全反射」のデモンストレーション
続いて、調和振動子の問題を扱うことにしょう。調和振動子とは何かといえば、変位に比例した復元力のよって動くものの一般的な名称である。高校までの言葉で言えば（今も正しいかは自信がないが）単振動するすべてのものである。復元力が変位に比例するということは、ポテンシャルは仕事になるので、その積分で という形状になる。つまり、放物線のポテンシャルカーブを持つものが調和振動子である。
原子分子の世界で調和振動をするものの例をあげるなら、例えば窒素分子をあげられる。窒素分子のポテンシャルは正確には
な形をしている。ある平衡位置があり、近づけていくとエネルギーがあがり、最後に原子核同士が近づきすぎると急激にエネルギーが増加する。引き離していくと、最初は吸引力が働くが、ある程度以上離れるとそれは弱くなり、最後はお互いに力が働くなくなる（何しろ、中性の原子２つだから当たり前だ）。ポテンシャル全体は、どう見たたって放物線ではなく、従って調和振動子ではあり得ない。しかし、ポテンシャルのそこのあたりは、放物線で近似でき、その範囲で窒素原子の振動は調和振動子の動きとなる。
上か下に凸な曲線をみたら、まず二乗で近似するのが物理のやり方である。それでだめだと４乗…と近似レベルをあげていく（ほとんどの関数はｘのべき関数の和で表される）。そういう意味で最初の近似レベルでは、調和振動子であり、それ故に調和振動子の議論が適用できる系はかなり多くなる。
１次元の調和振動子の波動関数は
となる。
波動関数の正確な形はあとに回すとして、量子数が小さい場合の大体の波動関数の形は、これまでの議論からある程度の想像がつくと思う。ポテンシャルはｘの２乗に比例するので無限遠方では無限大に発散する。それ故に、無限大では波動関数の値は０に収束すると考えて良い。ということは、この波動関数は有限な領域に閉じ込められた物であり、その結果として何らかの定常波的なものになっているはずである。井戸型ポテンシャル（有限・無限）で一番エネルギーの低いのは節が一つもない状態であることを考えると、最低次の波動関数は
な形になっており、２番目の波動関数は
のように節が一つあり、３番目は節が２つとつながっていくであろうことが推定できる。なお、この場合も、ポテンシャルが有限な井戸型の場合と同様に、古典的禁止領域への染みだしが起こっている。
しかしながら、量子数が多くなった極限では、調和振動子の波動関数は井戸型ポテンシャル（特にポテンシャル無限大）のは波動関数とは定性的に異なった部分が生じてくるはずである。何故なら、井戸型ポテンシャル中の粒子の動きと、調和振動の粒子の動きは古典的に、随分と異なるものなのだから。
ここで、古典的な調和振動（すなわち、バネにつながった質点系）の動きを復習しておこう。粒子の速度は運動の中心で最大になり、両端で０になる。その結果、粒子を見つける確率は振動の両端で高く、中心部では低い分布になる。これを量子論（波動関数）の言葉で表現すると、
ということである。つまり、
のような形になっていくことが期待されるのである。
では、波動関数の具体的な形はどうなっているかというと……波動方程式を解いて関数形を求めるのには数学的な学力がかなり要求されてしまう……ので、ここでは解く作業はやらずに答えだけ拾ってくることにする。
答は、二乗で減衰する指数関数と、エルミート多項式と呼ばれるべき関数の積になることが知られている。エルミート多項式は教科書に記されているけれども、次数があがると、ｘのべきの次数も上がっていく関数である。指数関数の方が、べき級数よりも収束が強いので、この関数は無限遠で０になることが保証されている。一方、次数が上がると、べきの次数も上がっていくので、その結果として
ことが実現される（周辺部で波長が長くなるかは、関数をちらっと見ただけでは直感的には理解できない気がする）。
実際の数学的な手順を無視して、この波動関数（もちろん、規格化されていなくてよい）をシュレディンガー方程式に代入すると、それぞれの状態のエネルギーを計算できる。ためしに、一番エネルギーの低い状態の式を代入してみると
となる。この状態の運動量は、運動量演算子に式を代入してみると
となり、不定になる。これは、井戸型ポテンシャルと同じように往復運動になるのだから、物理的に唯一運動量が出てこないのは当然のことであり、自然な結果である。ただし、井戸型ポテンシャルの場合と異なるのは、井戸型ポテンシャルでは
という波動関数を
という具合に２つの進行波の重ね合わせで記述できたので、運動量の値は
となり、逆方向に進む波に相当する運動量が等確率で観察されるのに対して、調和振動の場合には波動関数を単純に２つの波の重ね合わせでは書き記せない。２つで駄目なら、さらに多くの波を使うしかないわけなのだが、実際には有限な数の三角関数の和として調和振動の波動関数を書き表すことはできず、連続的に波数が変化する三角関数の積分として表記するしかない。これは、フーリエ変換と呼ばれる芸で、２年の基礎工業数学で習うはずのものである。こうした変換を施すことにより、調和振動の状態にある粒子の運動量を計測したら、どのような確率密度でどのような運動量が計測されるかが求められる。
ｖの変化にともない、波動関数がどのように変わっていくかをもう少し詳しく眺めてみよう。教科書にはｖ＝０から４までの範囲で示されている。ｖ＝０の状態では、波動関数は原点付近で大きな値となる。古典的な単振動を考えてみると、中央部で球の速度は速く、周辺で遅くなる。従って、存在確率密度波中央で小さく、周辺で大きくなるはずである。この状況はｖ＝０の場合と正反対である。井戸型ポテンシャルの場合にも、量子数が小さい場合の状況は、古典的状況と大きく異なっていたが、調和振動子においても、そのことは繰り返されている。
調和振動子が古典的な状況にどのように近づいていくのかを見るには、より量子数の大きな状況でどのように形が変化していくかを眺めればよい。残念ながら教科書にはｖ＝４までしか記されていないので、それより上は自分で計算するしかない。エルミート多項式に関しては、実は、
という式で表されることが知られており、この微分をきちんとやれば高次のエルミート多項式を求めることが出来る。例えば、ｖ＝３０の状態を計算したかったら、３０回ほど微分操作を繰り返せばよい。もちろん、途中の２０回の成果も使えるので、ある程度効率よく作業をすることは可能だけれども、まあ、私の集中力と根気では途中でミスして、まともな結果が出てこないのは火を見るより明らかだ。そこで、計算には科学技術計算ソフトを使うことにしよう。
計算ソフトとしてはmathmaticaというものが有名である（このソフトは東工大の教育システムにはmathmaticaが入っている（１年次用にも入っていたと思う。））。非常に優秀なソフトで、そこら辺の大学の先生よりはよっぽど数式の取り扱い能力が優れている。唯一の問題点は、学生向けのアカデミックは通常の版に比べるとはるかに安い（一般向けの価格の９割引以上だ）とはいえ３万円ほどすることであろう。アカデミック（教職員なら買える）だと２０万以上なので、流石によほどの必要に迫られないと個人では買えないソフトだ。mathmatica以外では、それより機能は劣るかもしれないけれど、それでも普通の人よりは計算能力の有りそうなソフトがいくつかある。フリーソフトで有名なところではMaximaというのがある。また、Mathmediaというシェアウェアー（３０００円、Vectorにある）でも、そこそこ使えるようだ。今回はMathmediaを使って、高次のエルミートの計算とグラフ化をしている。
数学だけでなく、量子化学にしても、分子のエネルギーなどは、手計算の時代ではなく、優秀なソフトウェアがグラフ表示も含めてきれいにやってくれる。しかし、だからこそ、その背景で何をやっているかを知っていないと、とてつもないミスをしでかすことがある。（例えば、構造物の強度を調べるのに有限要素法という手法がある。構造をいれて計算すれば、どの程度の力に耐えられるかは教えてくれる。しかし、それに必要な物質の強度パラメータの値が狂っていると、出てきた値は信頼できないものになる。従って、それを使う人間には、本来は、パラメータの妥当性や計算手法の妥当性を判断する能力が要求される。同じように量子化学計算ソフトも、近似のレベルにより、結果がどこまで信じられるかが決まる（近似を正確にすると計算に莫大な時間がかかるようになるので、どこかでバランスをとる必要がある）。それを判断するのは依然として人間の役割である。）
Plot[E^(-x^2/2)*E^(x^2)*D[E^-x^2,{x,101}], {x, -20, 20}]
Plot[E^(-x^2/2)*E^(x^2)/Sqrt[Factorial[0]*2^0]*D[E^-x^2,{x,0}], {x, -20, 20}]
Plot[E^(-x^2/2)*E^(x^2)/Sqrt[Factorial[60]*2^60]*D[E^-x^2,{x,60}], {x, -20, 20}]
Plot[(E^(-x^2/2)*E^(x^2)/Sqrt[Factorial[60]*2^60]*D[E^-x^2,{x,60}])^2, {x, -20, 20}]
ｖ＝０と３０の調和振動子の波動関数を比べてみると、３０の方では、周辺での波動関数の値が大きくなっていることが分かる。これは、古典的な周辺部で速度が低下して滞在時間が長くなるということにつながっている。また、注意してみると波動関数の波長が周辺部の方が大きいことが分かる。波動関数の波長は粒子の運動量に関連しており、波長が長いほど運動量は小さくなる。つまり、周辺部ほど、粒子の運動量は小さく、質量は一定なので、速度が遅くなっているわけである。
このように調和振動においても、量子数が大きくなるにつれて、波動関数で示される存在確率密度波古典的な状況に近づいていく。